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By Dr. rer. nat. Gerd Fischer (auth.)

ISBN-10: 3528572353

ISBN-13: 9783528572358

Buchhandelstext
Dieser Band enthält Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen. Ausgehend von affingen Unterräumen in Vektorräumen werden allgemeine affine Räume eingeführt, und es wird gezeigt, wie sich geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln behandeln lassen. Ein Kapitel über lineare Optimierung befaßt sich mit Systemen linearer Ungleichungen. Mit Hilfe der elementaren Theorie konvexer Mengen kann guy die Optimierung eines linearen Funktionals auf die Lösung linearer Gleichungssysteme zurückführen. Anschließend wird der für praktische Anwendungen so wichtige Simplex-Algorithmus abgeleitet. Besonderer Wert wird dabei auf einen Einblick in die geometrischen Zusammenhänge gelegt. Durch den projektiven Abschluß affiner Räume enthält guy den angemessenen Rahmen für das Studium von Sätzen aus der klassischen Geometrie. Durch viele Zeichnungen, Beispiele und Übungsaufgaben wird versucht, das Lesers Liebe zur Geometrie zu vertiefen. Affine Geometrie - Konvexe Mengen und lineare Optimierung - Projektive Geometrie

Inhalt
Inhalt: Affine Geometrie - Konvexe Mengen und lineare Optimierung - Projektive Geometrie.

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2. 2 erhält man sofort die Aussagen a), b), c). 3. Hat man in einem affinen Raum X über K eine affine Basis (Po, PI, ... 2 genau eine Affinität I{J:Kn-+X mit ip(O)=po,ip(el)=p" ... ,ip(en)=Pn Dabei ist (0, el, ... ,e n) die kanonische affme Basis des kanonischen affmen Raumes IA n (K) mit der zugrundeliegenden Menge Kn (vgl. 05). ,0: K n -+ X ein affines Koordinatensystem in X. ,0 (en) so ist (Po, PI, ... ,0-1 (p) =: (XI, ••• , xn ) E Kn der Koordinatenvektor von P bezüglich der affinen Basis (Po, PI, ...

Afime G~metrie Kollineation, wenn für jede Gerade Y C X auch f(Y) eine Gerade ist. Insbesondere sind also für kollineare Punkte PI> P2, P3 die Bildpunkte f(PI), f(P2), f(P3) kollinear. Dies ist eine vom geometrischen Standpunkt einleuchtende Bedingung. Man könnte sie noch etwas abschwächen, aber darauf wollen wir nicht eingehen. Beispiele. 1. Jede Affmität ist eine Kollineation. 2. Ist X eine Gerade, so ist jede beliebige bijektive Abbildung von X eine Kollineation. 3. A. 8). Ist X ein affmer Raum über K, so sind die Geraden Y C X genau die aus zwei Punkten bestehenden Teilmengen.

2). 10). Zur Ermutigung des Lesers sei bemerkt, daß im Beweis des letzteren Satzes nur die einfachsten Grundbegriffe der projektiven Geometrie verwendet werden. Eine affine Version dieses Beweises findet man zum Beispiel in [1]. Hauptlemma. Ist K ein Körper mit mindestens drei Elementen, X ein affiner Raum über Kund f: X-+X eine Kollineation, so sind für je zwei parallele Geraden Y 1, Y 2 C X auch die Bildgeraden f(Y l),f(Y 2) parallel. Beweis. Ist X eine Ebene, so ist dies trivial, denn dort sind verschiedene Geraden genau dann parallel, wenn sie sich nicht schneiden.

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